看♒♒了眼挂在黑板上面的钟表，距离公开课结束还有几分钟的💧🔑⛦时间。
徐川想了想，开口道：“距离下课还有一点时间，如果有同学对刚刚课堂上讲的内容有哪里没听懂♙的地方可以现在提问。”
闻言，台下的学生有不少都跃跃欲试，但看到身边的人都没什么反应又犹豫了起来。🞬🗋🚂
当然，懂得把握机会的人肯定也有，一位诺奖🃂+菲奖的大老亲自解答疑惑🛦🞤，这样的机会恐♳怕一生都难遇到一次。
徐川伸手示🞔意一位学生提问，被抽到的学🌠生条件反射似的站了起🌨🁥🇺来。
“教......教授。”被点到的学生🌠似乎没料到自己会这么幸运，这会🄡站起来后全场大几百人都注视着自己，顿时就结结巴巴的了。
徐♒川笑了笑，没有出声，而是安静的等待对方缓过来。
深呼吸了好些次后，这名幸🕖🉣🉇运儿才舒缓一些，接着道：“那，那个🆜🐖⛚，我记得您刚刚在课堂上提到了从代数几何的角度区域理解方阵的特征向量和特征值，我想请问一下这方面的东西。”
“这是个很有意思的问题。”
徐川笑着开口道，重新从桌上拾起粉笔，转身在身后的黑板上🅎🅚写道：“对于方阵的特征向量和特征值，🞻🙒从代数的角度定⚲义如下：
”设n阶矩阵a，如果有数🕖🉣🉇λ和n维非零列向量🁚🆒x→，使得下式成立:ax→=λx→，则称λ为矩阵的特征值，非零列向量x→称为矩阵，对应于特征值λ的特征向量。”
“而从几何的角度来理解方阵的特征向量和特征值，是以将矩阵看成是坐标系变换，如ax→=λx→，则代表了特征向量在坐标系变换之后，变成了原来的λ倍，⛲🞕而方向的延长线是不改变的，方向相同或相反........”
“此时特征向量可以⚘👫⚘👫理解🞉💗为在坐标系变换下，方向的延长线的不变的那些向量，但会被延长λ倍，这个长度的放大......”
“此外，需🞔要值得注意的是特征向量和特征值是有对应关系的。一个特征向量🝃🈚⚠，对应一个特征值。
在求解🁑矩阵的特征向量和🞉💗特征值时，一般先求出特征值，再将特征🆜🐖⛚值代入方程ax→=λx→中，求出特征向量。”
黑板🗸☮前，徐川写下了⚘👫最后一笔，重新扭头看向依旧站着的那位学生，笑着问🄡道：“理解了吗？”
提问的学生勐的🝪点了点头，激动🍦道：“懂了！谢谢教授。”
徐川笑了笑，接着挑选学生解答疑惑。
有了第一个学生的带头，之前有些☘⛑犹豫的学生也鼓起了勇气举起了手，但此刻对于整个阶梯教室中上百双举起的手而言，被选中的概率实在太小了。
解答了几个问题后，徐川笑着开口道：“最后一个问题了，就你了，🖜📛那位戴眼镜的同学，你有什🕷🎔么疑惑？”
“教授🁑，您能讲讲🗵你是怎么解决霍奇猜想的吗？”
带着眼镜的学生兴奋的站起来问道，不过他没提课堂🄿🃘上的疑惑，而是问了个其他🄑☜⛳方面的问题。
听到这个问题，徐川⚘👫微微愣了一下，他也没想到这个学生会问这🌨🁥🇺种问题，不过这并不是什么不能回答的。
笑了笑，他有些怀念的开口道：“解决霍奇猜想是我从米尔扎哈尼教授身上得到的灵感💺，在当初，米🕆😉尔扎哈尼教授曾留给♣我一份文稿，通过研究那份文稿，我意外的收获了一些解决霍奇猜想的方法。”
“至于具体的过程........”
徐川想了想，开口道：“距离下课还有一点时间，如果有同学对刚刚课堂上讲的内容有哪里没听懂♙的地方可以现在提问。”
闻言，台下的学生有不少都跃跃欲试，但看到身边的人都没什么反应又犹豫了起来。🞬🗋🚂
当然，懂得把握机会的人肯定也有，一位诺奖🃂+菲奖的大老亲自解答疑惑🛦🞤，这样的机会恐♳怕一生都难遇到一次。
徐川伸手示🞔意一位学生提问，被抽到的学🌠生条件反射似的站了起🌨🁥🇺来。
“教......教授。”被点到的学生🌠似乎没料到自己会这么幸运，这会🄡站起来后全场大几百人都注视着自己，顿时就结结巴巴的了。
徐♒川笑了笑，没有出声，而是安静的等待对方缓过来。
深呼吸了好些次后，这名幸🕖🉣🉇运儿才舒缓一些，接着道：“那，那个🆜🐖⛚，我记得您刚刚在课堂上提到了从代数几何的角度区域理解方阵的特征向量和特征值，我想请问一下这方面的东西。”
“这是个很有意思的问题。”
徐川笑着开口道，重新从桌上拾起粉笔，转身在身后的黑板上🅎🅚写道：“对于方阵的特征向量和特征值，🞻🙒从代数的角度定⚲义如下：
”设n阶矩阵a，如果有数🕖🉣🉇λ和n维非零列向量🁚🆒x→，使得下式成立:ax→=λx→，则称λ为矩阵的特征值，非零列向量x→称为矩阵，对应于特征值λ的特征向量。”
“而从几何的角度来理解方阵的特征向量和特征值，是以将矩阵看成是坐标系变换，如ax→=λx→，则代表了特征向量在坐标系变换之后，变成了原来的λ倍，⛲🞕而方向的延长线是不改变的，方向相同或相反........”
“此时特征向量可以⚘👫⚘👫理解🞉💗为在坐标系变换下，方向的延长线的不变的那些向量，但会被延长λ倍，这个长度的放大......”
“此外，需🞔要值得注意的是特征向量和特征值是有对应关系的。一个特征向量🝃🈚⚠，对应一个特征值。
在求解🁑矩阵的特征向量和🞉💗特征值时，一般先求出特征值，再将特征🆜🐖⛚值代入方程ax→=λx→中，求出特征向量。”
黑板🗸☮前，徐川写下了⚘👫最后一笔，重新扭头看向依旧站着的那位学生，笑着问🄡道：“理解了吗？”
提问的学生勐的🝪点了点头，激动🍦道：“懂了！谢谢教授。”
徐川笑了笑，接着挑选学生解答疑惑。
有了第一个学生的带头，之前有些☘⛑犹豫的学生也鼓起了勇气举起了手，但此刻对于整个阶梯教室中上百双举起的手而言，被选中的概率实在太小了。
解答了几个问题后，徐川笑着开口道：“最后一个问题了，就你了，🖜📛那位戴眼镜的同学，你有什🕷🎔么疑惑？”
“教授🁑，您能讲讲🗵你是怎么解决霍奇猜想的吗？”
带着眼镜的学生兴奋的站起来问道，不过他没提课堂🄿🃘上的疑惑，而是问了个其他🄑☜⛳方面的问题。
听到这个问题，徐川⚘👫微微愣了一下，他也没想到这个学生会问这🌨🁥🇺种问题，不过这并不是什么不能回答的。
笑了笑，他有些怀念的开口道：“解决霍奇猜想是我从米尔扎哈尼教授身上得到的灵感💺，在当初，米🕆😉尔扎哈尼教授曾留给♣我一份文稿，通过研究那份文稿，我意外的收获了一些解决霍奇猜想的方法。”
“至于具体的过程........”